Comecemos com o exemplo: $$ \ddot{x} + a \dot{x}+ bx = u(t) $$ que pode ser colocado na seguinte forma matricial com a posição como observação: $$ \begin{gather} \begin{pmatrix}\dot{x} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -b & -a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ v\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u \\[0.4cm] y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ v\end{pmatrix} \end{gather}$$
É natural que procuremos uma realimentação de estabilização da forma $u = Ly$. Neste caso a forma do sistema em malha fechada seria: $$\dot{\mathbf{x}} = \left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -b & -a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ L & 0 \end{pmatrix}\right) \mathbf{x}$$ que tem o polinômio característico $p(\lambda) = \lambda^2 + a\lambda + b - L$ que só poderá ser estabilizado se $a>0$.
A ideia é construir uma estimativa da variável de estado que chamaremos $\mathbf{x}_e$. Seja então o sistema linear da forma $$ \dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + Bu \\ \mathbf{y} = C\mathbf{x} $$
Um sistema $$\begin{gather} \dot{\mathbf{z}} = D\mathbf{z} + E\mathbf{y} + Fu \\ \mathbf{x}_{e} = G\mathbf{z} \end{gather}$$ é um observador dinâmico se para toda condição inicial temos que $\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{x}_e(t)\|$ tende a zero quando $t\to \infty$.
Um caso a considerar é quando $G=I$, e neste caso temos a equação $$ \dot{\mathbf{x}}_e= D\mathbf{x}_e + E\mathbf{y} + Fu $$ Para ser um observador é preciso ainda que $e(t) = \mathbf{x}(t) - \mathbf{x}_e(t)$ vá para zero quando $t$ vai a infinito. Mas temos: $$ \dot{e}(t)= \dot{\mathbf{x}}(t) - \dot{\mathbf{x}}_e(t)= A\mathbf{x} + Bu -D\mathbf{x}_e - EC\mathbf{x} - Fu $$ Nesta equação, se tivermos $A-EC = D$ e $B=F$ obtemos: $$ \dot{e}(t) = (A-EC)e(t) $$ e $e(t)$ irá a zero se a matriz $(A-EC)$ for estável. Se existir uma matriz $E$ que satisfaz esta propriedade diremos que o par $(A,C)$ é detectável e a equação: $$ \dot{\mathbf{x}}_e= (A-EC)\mathbf{x}_e + E\mathbf{y} + Bu $$ é chamado de observador de Luenberger.